Stoßtransformationen
Für die Untersuchung einer größeren Menge Stöße in einem idealen Gas harter Kugeln eignet sich die Einführung einer sehr einfachen und vor allem leicht zu begründenden Wechselwirkung. Bei der Berührung zweier harter Kugeln kann die Geschwindigkeit wegen des Widerstandes der anderen Kugel in Richtung der Berührpunktnormale nicht weiter auf der ursprünglichen Kugel fortgesetzt werden. Das geht nur auf der anderen Kugel. So überträgt sich der Geschwindigkeitsbetrag parallel zur Berührpunktnormale vollständig auf die jeweils andere Kugel. Orthogonale Geschwindigkeiten werden dagegen nicht in ihrer freien Bewegung durch den leeren Raum gehindert und setzen sich auf den ursprünglichen Kugeln fort.
Die stoßenden Vektoren u und v haben jeweils 3 Komponenten.
Für die Stoßachsenermittlung ist zuerst die Relativgeschwindigkeit erforderlich.
(1)
Die Richtung der Relativgeschwindigkeit wird mit der Kugelkoordinaten-Transformation ermittelt, für die hier die in Mathcad eingebaute Funktion verwendet wird:
(2)
(3)
Bei den Ergebnissen mit der ausführlichen Transformation gemäß dem Artikel über Kugelkoordinaten in Wikipedia, nimmt F Werte von 0 bis 2 p an.
Die Stoßachsenwinkel ergeben sich i.A. zufallsabhängig, wobei gleichwahrscheinliche parallele Bahnen zur Richtung der Relativgeschwindigkeit angenommen werden. Das ist auf gleichwahrscheinliche parallele Bahnen bei den Stoßpartnern zurückzuführen. Damit ergibt sich in kartesischen Koordinaten der Stoßachsenvektor:
(4)
Dieser wurde relativ zur Richtung der Relativgeschwindigkeit w(u,v) erzeugt und muss nun im ursprünglichen Koordinatensystem (dem Laborsystem von u und v) ausgedrückt werden, was durch zwei hintereinander ausgeführte Drehungen erreicht wird:
(5)
(6)
Damit ergibt sich die Stoßachse im ursprünglichen Koordinatensystem durch das zweifache Zurückdrehen zu:
(7)
Dieses S entspricht beim Zentralstoß auf eine ruhende Kugel dem ursprünglichen u bzw. beim Zentralstoß auf ein beliebiges v allgemeiner dem Relativgeschwindigkeitsvektor w normiert auf 1.
Beim Stoß werden nun die zur Stoßachse parallelen Geschwindigkeiten der beiden beteiligten Kugeln ausgetauscht. Alle Vektoren sollen jedoch weiterhin im ursprünglichen Koordinatensystem betrachtet werden.
(8)
parallele Geschwindigkeiten
(9)
(10)
orthogonale Geschwindigkeiten
(11)
(12)
Geschwindigkeiten nach Stoß
(13)
(12) und (13) sind die Stoßtransformationen für dreidimensionale Geschwindigkeitsvektoren. Es sind jeweils Funktionen von sechs Parametern, also je drei Geschwindigkeitskomponenten in kartesischen Koordinaten und zwei Winkeln für die sich zufällig ergebende Stoßachse. Die Ergebnisse hängen demnach jeweils von vorher (weiter oben) definierten Funktionen ab und ergeben dreidimensionale Geschwindigkeitsvektoren.

 

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Wiese, Lothar: Struktur und Dynamik der Materie im Uratom-Modell, http://www.localisator.de/atom, Porec und Sarajevo 2000-2005
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