Albert Lothar Wiese, Porec, 08/2013, http://struktron.de/
0. Vorwort
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Es existiert einzig und allein eine Menge unendlich vieler, sich im dreidimensionalen Raum bewegender diskreter Objekte, die hier als gleich große Kugeln beschrieben werden. Diese durchdringen den leeren Raum gleichförmig geradlinig. Eine Annäherung an eine andere Kugel erfolgt bis zum Zusammenstoß (Berührung), bei dem nur die Geschwindigkeitskomponenten in Richtung der Stoßachse (Berührungsnormale) ausgetauscht werden.
Bild1:
Damit lassen sich Formeln für die elementare hier betrachtete Wechselwirkung herleiten.
Ortsveränderungen im Substrat diskreter Objekte werden vorläufig nicht betrachtet. Geschwindigkeitsvektoren (3 Komponenten), hier u und v werden (wie in Mathcad üblich) fett ohne Pfeil geschrieben. Für eine Untersuchung vieler solcher Kugeln wird angenommen, dass die Geschwindigkeiten nach einer Maxwell-Boltzmannschen Geschwindigkeitsverteilung verteilt sind. Dafür gibt es folgende Berechtigung:
- empirische Erfahrungen, auch schon aus Zeiten von Maxwell und Boltzmann zeigen, dass in Gasen diese Geschwindigkeitsverteilung der betrachteten Moleküle gilt
- neuere Herleitungen mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung beweisen die Gültigkeit der
- eigene Rechnungen zeigen, dass bei unterschiedlichen Anfangsgeschwindigkeiten Stöße
Die anderen verwendeten Wahrscheinlichkeitsverteilungen entstehen rein geometrisch und können praktisch keine willkürlich versteckten Naturkonstanten enthalten. Die berachteten Kugeln bewegen sich im zur Beschreibung verwendeten R3 geradlinig bis zu einer Berührung. Dabei entsteht das Ereignis eines Stoßes und nur diese werden untersucht. Die zu solchen Ereignissen führende Geometrie und die Dynamik müssen demnach
Eventuelle unbekannte Zusammenhänge, welche durch Parameter der verwendeten Wahrscheinlichkeitsverteilungen, beispielsweise der Standardabweichungen, einen Einfluss auf die Erzeugung des durchschnittlichen Geschwindigkeitsbetragsunterschieds ausüben, sind bisher unbekannt.
Bild 2: Thermalisierung durch Stöße
Eine räumliche
Dafür sind die Stoßtransformationen, also Bewegungsgleichungen zur Bestimmung der Geschwindigkeiten nach dem Stoß, erforderlich.
Zuerst wird die Relativgeschwindigkeit (aus je drei Komponenten) der Stoßpartner bestimmt:
(1)
Die Richtung der Relativgeschwindigkeit wird mit der Kugelkoordinaten-Transformation ermittelt, für die hier die in Mathcad eingebaute Funktion verwendet wird:
(2)
(3)
Bei den Ergebnissen mit der ausführlichen Transformation gemäß dem Artikel über
Kugelkoordinaten
in Wikipedia,
Die zwei, oben begründeten, Stoßachsenwinkel ergeben sich i.A. zufallsabhängig, wobei gleichwahrscheinliche parallele Bahnen zur Richtung der Relativgeschwindigkeit angenommen werden. Das ist auf gleichwahrscheinliche parallele Bahnen bei den Stoßpartnern zurückzuführen. Damit ergibt sich in kartesischen Koordinaten der Stoßachsenvektor:
(4)
Dieser wurde relativ zur Richtung der Relativgeschwindigkeit
(5)
(6)
Damit ergibt sich die Stoßachse im ursprünglichen Koordinatensystem durch das zweifache Zurückdrehen zu:
(7)
Dieses S entspricht beim Zentralstoß auf eine ruhende Kugel dem ursprünglichen
Beim Stoß werden nun die zur Stoßachse parallelen Geschwindigkeiten der beiden beteiligten Kugeln ausgetauscht. Das ist die elementare Wechselwirkung, welche durch das Axiom eingeführt wurde. Alle Vektoren sollen jedoch weiterhin im ursprünglichen Koordinatensystem betrachtet werden.
(8)
parallele Geschwindigkeiten
(9)
(10)
orthogonale Geschwindigkeiten
(11)
(12)
Geschwindigkeiten nach Stoß
(13)
Sind demnach die erforderlichen Stoßtransformationen
Die wesentlichen Eigenschaften der Standardphysik müssen in Raum und Zeit verfolgt werden. Ereignisse, also auch Stöße, sind von den lokal vorzufindenden Zuständen abhängig. Im hier betrachteten System gleich großer Kugeln sind das nur die Geschwindigkeiten und Orte zu verschiedenen Zeitpunkten.
Um möglichst einfach zu rechnen, betrachten wir das Ganze im ortslosen Gas. Dadurch wird das ganze System skalierbar, die Kugeldurchmesser, deren Dichte,... haben keinen Einfluss. Dafür verwenden wir die Erkenntnis, dass eine Asymmetrie des Vektor- oder Flugwinkels auf ein bewegtes Teilchen zu entsteht, wenn eine Probekugel mit beliebiger MB-verteilter Geschwindigkeit gegenüber einer ganzen Menge vieler ebenfalls MB-verteilter Geschwindigkeitsbeträge, welche isotrop aus allen Richtungen mit gleicher Wahrscheinlichkeit kommen können und homogen in genügend großer Zahl zur Verfügung stehen. Die MB-Verteilung enthält nur den wohlbekannten statistischen Parameter und als Variable den Geschwindigkeitsbetrag:
(14)
Die Zusammenhänge für den Mittelwert, der hier einfach als 1 angenommen werden kann und die Standardabweichung ergeben z.B mit
(15)
(16)
(17)
Im ortslosen Gas ist der Vektorwinkel β neben den Geschwindigkeitsbeträgen für die Stoßfrequenz auf eine Probekugel maßgeblich. Einen Einfluss auf die Auswahl dieser Flugwinkel kann nur die von den jeweiligen Relativgeschwindigkeiten bestimmte Stoßfrequenz aus verschiedenen Richtungen auf eine gerade betrachtete Kugel haben. Bei der Thermalisierung (vgl. [Wi 09]) kommt der Faktor sin(β) wegen der Isotropie und Homogenität des Mediums zustande (vgl. [Br 07], 4 Bahnenwinkel). Es gibt
Im Zusammenhang mit der Beschreibung des Spins von Elementarteilchen, welche die Feinstrukturkonstante erzeugen könnten, könnte auch hier eine Korrektur der sich ergebenden durchschnittlichen Änderungen durch die bei Stößen erfolgende Drehung der Relativgeschwindigkeiten erforderlich werden. Die Verteilungsfunktion für den Winkel β wird ohne eine solche Korrektur einfach nach dem Satz von Pythagoras:
(18)
Wobei natürlich gilt:
z.B.
Neben den oben definierten werden ausschließlich einfach geometrisch konstruierte Wahrscheinlichkeitsverteilungen zur Simulation verwendet, so dass keine ungewöhnlichen Parameter hinein geraten, welche die Erzeugung der Feinstrukturkonstante verursachen könnten.
Das gesamte Arbeitsblatt muss für die Erreichung hoher zu ermittelnder Stoßzahlen viele Male durchlaufen werden, weil auf verwendeten PC's der Arbeitspeicher begrenzt ist. Zur Steuerung der Durchläufe wird hier ein AutoHotkey-Script verwendet, das auch herunter geladen werden kann. Dort wird eine Durchlaufzahl auf Veränderung geprüft, die deshalb am Anfang eingelesen werden muss:
(19)
Es werden nun
(20)
ist dabei die Zahl der bei einem Durchlauf erzeugten Stoßgebilde (Bild 1), welche viele Größen annehmen kann und dadurch den Zeitbedarf für einen Durchlauf bestimmt.
Für
(21)
erfolgt nun damit die Ermittlung aller indizierten Größen N mal. Wo diese Indizes gemeinsam auftreten muss deshalb dafür gesorgt werden, dass die zugehörigen Zufallszahlen unabhängig von den anderen erzeugt werden. Das geschieht in Mathcad durch erneutes Aufrufen des Zufallsgenerators rnd(1) (generiert gleichverteilte Zahlen). Die zufälligen Geschwindigkeitsbeträge
Die einzulesenden Parameter P unterscheiden sich von Durchlauf zu Durchlauf nur um einen angehängten Wert Δ
(22)
ist die Zahl der bisherigen Durchläufe des Programms.
(23)
für den ersten Durchlauf,
weil da noch kein Δ vorliegt.
(24)
Die eingelesenen Parameter des vorhergehenden Durchlaufs ergeben den Korrekturfaktor
Dieses Verfahren können wir als eine Iteration oder stochastischen Prozess betrachten. Pro gewünschter Dezimalstelle steigt allerdings die nötige Stoßzahl überproportional.
(25)
(26)
Diese Standardabweichung verwenden wir nun für den aktuellen Durchlauf zur Definition der zu verwendenden MB-Verteilung, welche sich hier nur für u von (14), also bei σu unterscheiden.
(27)
In der Inversionsmethode werden nun zuerst die impliziten Funktionen der Wahrscheinlichkeitsverteilungen benötigt.
Die Geschwindigkeitsbeträge werden mit Hilfe der Umkehrfunktion (root) aus zufällig zwischen Null und Eins erzeugten Zahlen ermittelt. Zur Initialisierung der Lösung benötigen wir zwei beliebige Werte aus dem Lösungsbereich und verwenden ein Verfahren, das möglichst alle zulässigen Intervalle auch tatsächlich auswählt:
und
(29)
(30)
(31)
(32)
(33)
(34)
Zur Erzeugung von Werten, welche bei einem Durchlauf
Gemäß der Inversionsmethode ergibt sich aus (14) nun als implizite Funktion für den Zufallsgenerator des Vektorwinkels β:
(35)
Darin werden die u und v nur als Geschwindigkeitsbeträge benötigt, weil diese die Stoßfrequenz aus einer bestimmten Richtung beeinflussen. Für alle u und v aus (34) werden nun entsprechend der Festlegung, dass u die Probekugeln sein sollen, zufällige Vektorwinkel β erzeugt, welche auf den Überlegungen oben zur Bestimmung von deren Wahrscheinlichkeitsverteilung (18) beruhen.
Zur Nullstellenbestimmung durchläuft die Lösungsmenge wieder alle Intervalle von i / N mit zufälligen Schwankungen innerhalb dieser.
(36)
Mit
zur Initialisierung
(37)
ergibt sich nun der gesuchte Zufallsgenenerator für den Flugwinkel im homogenen isotropen Medium zwischen zwei beliebig ausgewählten diskreten Objekten (Kugeln), was hier in der durch i festgelegten Reihenfolge geschieht:
im Durchschnitt
(38)
(39)
Zusätzlich werden neue Stoßachsenwinkel generiert, bei denen
(40)
Mit den oben ermittelten Geschwindigkeitsbeträgen können nun die Vektoren der Probekugeln hingeschrieben werden:
z.B.:
(41)
(42)
Hier wird
(43)
(44)
Das Zurückdrehen der zufällig erzeugten Vektoren
(45)
Mit diesen ergibt sich durch die Drehung:
(46)
Damit ergeben sich nach dem Stoß die beiden Geschwindigkeitsvektoren.
Diese sind für weitere Untersuchungen im ursprünglichen Koordinatensystem ausgedrückt,
Aus der Beschreibung elementarer Ereignisse mit jeweils acht Parametern können wegen der Isotropie die vier Geschwindigkeitsbeträge (vor und nach den Stößen) die wesentlichen Änderungen zeigen (u rot, v grün). Sie können positiv oder negativ sein und auch bei sehr großen Zahlen im Durchschnitt noch einen von Null abweichenden Wert besitzen. Bei jedem solchen Stoß ergibt sich eine Drehung der Relativgeschwindigkeit der beiden Stoßpartner, deren Betrag erhalten bleibt (blau gestrichelt). Dieser kann ein axialer Vektor zugeordnet werden (Pseudovektor), was hier aber nicht weiter verfolgt wird. Die Geschwindigkeitsbeträge können wegen der Isotropie in einer beliebigen Richtung eingezeichnet werden (fein gestrichelt). Der interessierende Betrag der Differenz, welcher nach sehr vielen Stößen im Durchschnitt gegen die Feinstrukturkonstante strebt, kann ebenfalls eingezeichnet werden (blau).
Die Veränderung der Geschwindigkeitbeträge wird nun für jeden einzelnen Stoß errechnet. Die allgemeine Formel dafür lautet:
(49)
Diese wird mit Index versehen zur Ermittlung
(50)
Bild 3: Änderung der Geschwindigkeitsbeträge bei Stößen
Die durchschnittliche Geschwindigkeitsbetragsänderung wird wegen des Zusammenhangs mit
(51)
Die Wurzel aus Δ zeigt nach sehr vielen Stößen im Durchschnitt die Eigenschaften einer Elementarladung. Dieser Wert wird für die Auswertung an die bereits gespeicherten angehängt:
(52)
Zur Analyse der Daten werden diese erneut eingelesen
(53)
ist die Zahl der Durchläufe.
(54)
Die Parameter für die Grafik werden aus den entsprechenden Stellen der eingelesenen Datei summiert:
(55)
und dessen letzter ist
(56)
(57)
Als Vergleichswert dient die Feinstrukturkonstante:
(58)
Mit den
Durchläufen ergibt sich folgende Entwicklung:
welche den nachvollziehbaren Beweis einer wichtigen Entdeckung darstellen könnten (download dieses Mathcad-Arbeitsblattes für Windows PC von
http://struktron.de
und Nachrechnen durch
Bild 4: Konvergenz der Geschwindigkeitsbetragsdifferenzen im Vergleich zur Feinstrukturkonstante
Im Bild werden die Geschwindigkeitsbetragsänderungen ΔX von
Haupterkenntnis dieser Simulationen ist, dass bei jedem Stoß, also auch im Vakuum, im Durchschnitt Abweichungen von den ursprünglichen Geschwindigkeitsbeträgen erzeugt werden (siehe (50)). Diese erreichen mit dem einfachen Quotienten 4 π (für skalierbare Raumzelle) den Wert der Feinstrukturkonstante, erzeugt mit der lokalen Durchschnittgeschwindigkeit, wie auch c. Die hier nicht einfließende Größe einer durch freie Weglängen aufgespannten Raumzeitzelle
Auch die "Kopplungskonstante" der starken Wechselwirkung wäre damit erklärbar, obwohl diese vielleicht durch den Einfluss der freien Weglängen unnötig wird.
Damit wird die Existenz eines Substrates im Vakuum, welches mit der angenommenen einfachen Wechselwirkung beschrieben werden kann, offensichtlich.
Der Einfluss der Zufallszahlenerzeugung ist unklar und führt trotz großer Stoßzahlen noch zu kleinen Schwankungen. Von Nutzen für die Beurteilung dieser Entdeckung wäre vor allem der Versuch, die Ergebnisse mit anderen Computer Algebra Systemen nachzuvollziehen. Vielleicht auch mit analytischen Methoden. Zur Lösung eines achtfachen Integrals über alle zulässigen Werte der Stoßtransformationen existiert noch keine Idee. Offen bleibt bisher aber die Frage, wie die mit der Feinstrukturkonstante verbundene Elementarladung, die ja schon hier einen festen gequantelten Wert erhält, mit ebenfalls festen Energieportionen verbunden werden kann, welche beispielsweise ein Elektron oder ein Positron beschreiben. Das geht vermutlich nur in einer Theorie unter Berücksichtung von Raum und Zeit.
[Wi 03] Wiese, A.L. Stoßverhalten in einem einfachen Gas harter Kugeln (HKG), Porec und
[Wi 05] Wiese, A.L.; Zufällige Stöße; 2005; http://struktron.de/alt/2005-ZufallsstößeFSK.pdf
[Se 05] Selvam, A.M.; A General Systems Theoriy for Chaos, Quantum Mechaniks and Gravity for
[Br 07] Brendel, L.; ohne Titel (Stoßwahrscheinlichkeiten im Harte Kugeln Gas); unveröffentlichtes
[Wi 09] Wiese, A.L.; Thermalisierung; http://struktron.de/alt/2009-Thermalisierung.pdf
[Wi 10] Wiese, A.L.; Einfache diskrete Objekte zur Erweiterung des Standardmodells,
[He 11] Hedrich, Reiner; Raumzeitkonzeptionen in der Quantengravitation (Spacetime in Quantum
[Wi 12] Wiese, A.L.; Feinstrukturkonstante;
ist für die Auswertung als Textdatei
ist für die Durchlaufsteuerung mit dem Script.